Matematyka

(1) Wymagania wstępne i dodatkowe

Wiadomości z matematyki w zakresie szkoły średniej (liceum o profilu ogólnym), w szczególności umiejętność posługiwania się podstawowymi oznaczeniami z zakresu przekształceń algebraicznych, funkcji jednej zmiennej oraz symboliką logiczną. Znajomość takich pojęć jak: zbiór, funkcja liniowa, kwadratowa, wykładnicza i logarytmiczna. Umiejętność rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz kwadratowych.

(2) Treści kształcenia

Wykład (studia stacjonarne/studia niestacjonarne):

1. Elementy logiki. Ciągi liczbowe, ich rodzaje i własności. Granice ciągów liczbowych. Liczba e. (1 godz. / 0,5 godz.)

2. Funkcja jednej zmiennej. Przegląd funkcji elementarnych. Własności funkcji. Granica funkcji, asymptota wykresu funkcji, ciągłość. (2 godz. / 1,5 godz.)

3. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej - pochodna pierwszego i drugiego rzędu. Zastosowanie pochodnej - monotoniczność, wypukłość, ekstrema funkcji, jednej zmiennej i jej zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji. Najmniejsza i największa wartość funkcji. (2,5 godz. / 1,5 godz.)

4. Podstawowe typy macierzy. Działania na macierzach i ich własności. Przekształcenia elementarne. Wyznacznik macierzy. Rząd macierzy i metody jego wyznaczanie. Macierz odwrotna. (2 godz. / 1,5 godz.)

5. Układy równań liniowych. Oznaczone układy równań, twierdzenie Cramera. (1 godz. / 0,5 godz.)

6. Określanie liczby rozwiązań układu równań liniowych - twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Zastosowanie przekształceń elementarnych do rozwiązywania układów nieozanczonych. (2 godz. / 1,5 godz.)

7. Zastosowanie macierzy w ekonomii i modelach woelorównaniowych. (2 godz. / 1 godz.)

8. Pojęcie całki nieoznaczonej. Reguły całkowania. Pojęcie całki oznaczonej. Własności całek oznaczonych. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej. (2,5 godz. / 1,5 godz.)

9. Całki niewłaściwe. Zastosowanie do obliczania pól i rozwiązywania prostych równań różniczkowych. (1,5 godz. / 0,5 godz.)

10. Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. Gradient i hesjan. Ekstremum lokalne - warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum. (2 godz. / 1 godz.)

11. Wartość największa i najmniejsza funkcji dwóch zmiennych. Funkcje wielu zmiennych w ekonomii. Zagadnienia optymalizacji z uwzględnieniem ograniczeń budżetowych. (1 godz. / 1 godz.)

12. Nieskończony szereg liczbowy. Sumy częściowe. Szereg harmoniczny i geometryczny. Zbieżność szeregu. Zastosowanie operatora sumowania. (2 godz. / 1 godz.)

13. Pojęcie zmiennej losowej. Zmienna losowa skokowa i ciągła. Dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej. (3,5 godz. / 2 godz.)

Ćwiczenia (studia stacjonarne/studia niestacjonarne):

1. Wprowadzenie do przedmiotu. Operator sigma. Działania na zbiorach. Zastosowanie symboli logicznych. Powtórzenie działań algebraicznych dla wyrażeń wymiernych. Rozwiązywanie równań i nierówności z jedną niewiadomą. (2 godz. / 1 godz.)

2. Ciąg jako przykład funkcji jednej zmiennej. Obliczanie granic ciągów liczbowych, w tym liczby niewymiernej e oraz jej zastosowanie w finansach. Obliczanie granic funkcji. (2 godz. / 1 godz.)

3. Własności funkcji ciąg dalszy. Wykresy funkcji elementarnych (liniowa, kwadratowa, homograficzna, wykładnicza i logarytmiczna o podstawie e). Złożenie funkcji. Granice funkcji w punkcie i w nieskończoności, granice jednostronne. Ciągłość funkcji. Asymptoty wykresu funkcji. (3 godz. / 1,5 godz.)

4. Liczenie pochodnej funkcji. Pochodna iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej. Interpretacja geometryczna pochodnej. (2 godz. / 1 godz.)

5. Zastosowania rachunku różniczkowego do badania własności funkcji. Monotoniczność i ekstrema lokalne oraz wklęsłość i wypukłość funkcji. Badanie przebiegu zmienności funkcji. Elastyczność i zastosowanie pochodnej funkcji w ekonomii. Funkcje kosztu krańcowego, utargu krańcowego oraz zysku krańcowego. (2 godz. / 1 godz.)

6. Praca kontrolna nr 1. (1 godz. / 1 godz.)

7. Macierze i działania na macierzach. Operacje elementarne. Postać bazowa/kanoniczna macierzy. Rząd macierzy. Wyznaczniki macierzy. Związki między rzędem a wyznacznikiem. ( 2 godz. / 1 godz.)

8. Macierz odwrotna. Sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej. Równanie macierzowe. (1 godz. / 0,5 godz.)

9. Układy równań liniowych. Metody rozwiązywania układów liniowych (oznaczonych - twierdzenie Cramera i nieoznaczonych - rozwiązanie ogólne, rozwiązania bazowe). Zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Capelliego. (2 godz. / 1,5 godz.)

10. Rozwiązanie graficzne nierówności liniowych. (0,5 godz. / 0,5 godz.)

11. Całka nieoznaczona i metody całkowania. (1,5 godz. / 1 godz.)

12. Całka oznaczona i jej interpretacja graficzna. Interpretacja ekonomiczna całki. Wyznaczanie funkcji kosztu, utargu i zysku całkowitego. (1 godz. / 0,5 godz.)

13. Praca kontrolna nr 2. (1 godz. / 1 godz.)

14. Funkcje wielu zmiennych. Dziedzina i warstwice. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. (1,5 godz. / 1 godz.)

15. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych. (1,5 godz. / 0,5 godz.)

16. Poprawa jednej wybranej pracy kontrolnej. (1 godz. / 1 godz.)

(3) Metody dydaktyczne i pomoce naukowe

Wykłady - analiza podstaw teorii matematycznych oraz przedstawienia ich praktycznej realizacji w naukach ekonomicznych. Ćwiczenia praktyczne - rozwiązywanie problemów oraz dyskusja wybranych zagadnień (praca w grupach oraz praca samodzielna); rozwiązywanie zestawów zadań przygotowanych specjalnie dla tego kierunku.

Podstawowa:

Gurgul H., Suder M., Matematyka dla kierunków ekonomicznych, Oficyna a Wolters Kluwer Business, Warszawa 2011;

Klepacz H,. Porazińska E., Zastosowania matematyki w ekonomii, Wyd. UŁ Łódź 2000 lub nowsze;

Klepacz H., Matematyka. Zbiór zadań z rozwiązaniami dla studentów uczelni ekonomicznych, Wyd. Absolwent, Łódź 2002

Uzupełniająca:

Antoniewicz R., Misztal A., Matematyka dla studentów ekonomii, Wyd. AE im. O. Lange Wrocław 1995;

Chang A. C., Podstawy ekonomii matematycznej, PWE, Warszawa 1994;

Dobrowolska K., Dyczk W., Jakuszenkow H., Matematyka 1, Helpmath, Łódź 2005;

Kozarzewski R., Matuszewski W., Zacharski J., Matematyka dla ekonomistów, cz.I i II, Wyd. WSE-I, 2000;

Krysicki W., Włodarski L., Analiza Matematyczna w zadaniach I, PWN, Warszawa 1996;

Żółtowska E., Porazińska E. Żółtowski J. Algebra Liniowa, Wyd. Absolwent, Łódź 2001

WIEDZA

(„Student zna i rozumie...”)

metody analitycznego rozwiązywania zadań będących podstawą analiz ekonomicznych, finansowych jak również wykorzystywanych w zarządzaniu. Student zna i definiuje własności podstawowych klas funkcji wykorzystywanych do opisu zjawisk ekonomicznych Z_W01, Z_W13, Z_W14

zastosowanie metod macierzowych w analizowaniu zależności w wybranych zjawiskach w ekonomii, finansach i zarządzaniu Z_W01, Z_W13, Z_W14

metody rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych wykorzystywane w opisie zjawisk ekonomicznych Z_W13, Z_W14

podstawy rachunku całkowego oraz jego zastosowania w naukach ekonomicznych, a w szczególności rozumie znaczenie całki oznaczonej we wnioskowaniu statystycznym Z _W08, Z_W13, Z_W14

UMIEJĘTNOŚCI

(„Student potrafi…”)

rozwiązywać wybrane problemy z zakresu ekonomii, finansów i zarządzania wykorzystując narzędzia matematyczne oraz poprawną terminologią ekonomiczną i finansową Z_U01, Z_U03

wykorzystać aparat matematyczny, by poprawnie interpretować wskaźniki ekonomiczne i finansowe oraz umie je zastosować w wybranych zadaniach z zakresu finansów i zarządzania Z _U03

dokonać prezentacji wyników własnych analiz i ocen oraz podać ich merytoryczną argumentację wykorzystując aparat matematyczny Z _U03, Z_U04, Z_U10

przeprowadzić analizę złożonych zagadnień finansowych i ekonomicznych oraz zarządzania stosując analizę macierzową, w tym układy równań Z_U01, Z _U09

Zastosować podstawy rachunku różniczkowego oraz całkowego rozwiązując złożone zadania z zakresu finansów i zarządzania Z_U01, Z _U09

KOMPETENCJE SPOŁECZNE

(„Student jest gotów do…”)

podejmowania odpowiedzialność za pracę własną i osób z nim współpracujących Z_K05

krytycznej oceny posiadanej wiedzy i świadomy znaczenia umiejętności analitycznych w podnoszeniu kwalifikacji zawodowych Z_K08, Z_K10

efektywnego korzystania z literatury, by samodzielne doskonalić nabytą wiedzę i umiejętności Z _K03, Z _K10

Efekty w zakresie WIEDZY weryfikowane na podstawie pisemnego zaliczenia w formie egzaminu pisemnego z materiału przekazanego na wykładach, UMIEJETNOŚCI weryfikowane poprzez kolokwia pisemne oraz rozwiązywanie zadań i wybranych problemów z matematyki, KOMPETENCJE SPOŁECZNE oceniane poprzez ocenę aktywności studenta w trakcie zajęć.

OCENA KOŃCOWA: egzamin z wykładu na ocenę - egzamin pisemny sprawdzający wiedzę; zaliczenie ćwiczeń na oceną zależną w: 10% od aktywności na zajęciach, 10 % od prac domowych - seria zadań (samodzielne rozwiązywanie zadań oraz umiejętność zaprezentowania rozwiązania), w 80% od oceny z dwóch kolokwiów.

Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest obecność na zajęciach (zgodna z regulaminem studiów) oraz uzyskanie minimum 55 punktów. Ocena z ćwiczeń wystawiana jest na podstawie łącznej punktacji z dwóch kolokwiów wraz z punktami za aktywność w czasie zajęć oraz prace domowe.

Zaliczenie ćwiczeń jest warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu.

Końcowa ocena z ćwiczeń, jak i egzaminu ustalana jest według skali:

Poniżej 55.00 % - ocena 2

55.00 % i więcej - ocena 3

60.00 % i więcej - ocena 3,5

70.00 % i więcej - ocena 4

80.00 % i więcej - ocena 4,5

90.00 % i więcej - ocena 5