Matematyka

(1) Wymagania wstępne:

Wiadomości z matematyki w zakresie szkoły średniej (liceum o profilu ogólnym), w szczególności umiejętność posługiwania się podstawowymi oznaczeniami z zakresu przekształceń algebraicznych, funkcji jednej zmiennej oraz symboliką logiczną. Znajomość takich pojęć jak: zbiór, funkcja liniowa, kwadratowa, wykładnicza i logarytmiczna. Umiejętność rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz kwadratowych.

(2) Treści kształcenia:

Wykład (studia stacjonarne/studia niestacjonarne):

1. Elementy logiki. Ciągi liczbowe, ich rodzaje i własności. Granice ciągów liczbowych. Liczba e. (1 godz. / 0,5 godz.)

2. Funkcja jednej zmiennej. Przegląd funkcji elementarnych. Własności funkcji. Granica funkcji, asymptota wykresu funkcji, ciągłość. (2 godz. / 1,5 godz.)

3. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej - pochodna pierwszego i drugiego rzędu. Zastosowanie pochodnej - monotoniczność, wypukłość, ekstrema funkcji, jednej zmiennej i jej zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji. Najmniejsza i największa wartość funkcji. (2,5 godz. / 1,5 godz.)

4. Podstawowe typy macierzy. Działania na macierzach i ich własności. Przekształcenia elementarne. Wyznacznik macierzy. Rząd macierzy i metody jego wyznaczanie. Macierz odwrotna. (2 godz. / 1,5 godz.)

5. Układy równań liniowych. Oznaczone układy równań, twierdzenie Cramera. (1 godz. / 0,5 godz.)

6. Określanie liczby rozwiązań układu równań liniowych - twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Zastosowanie przekształceń elementarnych do rozwiązywania układów nieozanczonych. (2 godz. / 1,5 godz.)

7. Zastosowanie macierzy w ekonomii i modelach woelorównaniowych. (2 godz. / 1 godz.)

8. Pojęcie całki nieoznaczonej. Reguły całkowania. Pojęcie całki oznaczonej. Własności całek oznaczonych. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej. (2,5 godz. / 1,5 godz.)

9. Całki niewłaściwe. Zastosowanie do obliczania pól i rozwiązywania prostych równań różniczkowych. (1,5 godz. / 0,5 godz.)

10. Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. Gradient i hesjan. Ekstremum lokalne - warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum. (2 godz. / 1 godz.)

11. Wartość największa i najmniejsza funkcji dwóch zmiennych. Funkcje wielu zmiennych w ekonomii. Zagadnienia optymalizacji z uwzględnieniem ograniczeń budżetowych. (1 godz. / 1 godz.)

12. Nieskończony szereg liczbowy. Sumy częściowe. Szereg harmoniczny i geometryczny. Zbieżność szeregu. Zastosowanie operatora sumowania. (2 godz. / 1 godz.)

13. Pojęcie zmiennej losowej. Zmienna losowa skokowa i ciągła. Dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej. (3,5 godz. / 2 godz.)

Ćwiczenia (studia stacjonarne/studia niestacjonarne):

1. Wprowadzenie do przedmiotu. Operator sigma. Działania na zbiorach. Zastosowanie symboli logicznych. Powtórzenie działań algebraicznych dla wyrażeń wymiernych. Rozwiązywanie równań i nierówności z jedną niewiadomą. (2 godz. / 1 godz.)

2. Ciąg jako przykład funkcji jednej zmiennej. Obliczanie granic ciągów liczbowych, w tym liczby niewymiernej e oraz jej zastosowanie w finansach. Obliczanie granic funkcji. (2 godz. / 1 godz.)

3. Własności funkcji ciąg dalszy. Wykresy funkcji elementarnych (liniowa, kwadratowa, homograficzna, wykładnicza i logarytmiczna o podstawie e). Złożenie funkcji. Granice funkcji w punkcie i w nieskończoności, granice jednostronne. Ciągłość funkcji. Asymptoty wykresu funkcji. (3 godz. / 1,5 godz.)

4. Liczenie pochodnej funkcji. Pochodna iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej. Interpretacja geometryczna pochodnej. (2 godz. / 1 godz.)

5. Zastosowania rachunku różniczkowego do badania własności funkcji. Monotoniczność i ekstrema lokalne oraz wklęsłość i wypukłość funkcji. Badanie przebiegu zmienności funkcji. Elastyczność i zastosowanie pochodnej funkcji w ekonomii. Funkcje kosztu krańcowego, utargu krańcowego oraz zysku krańcowego. (2 godz. / 1 godz.)

6. Praca kontrolna nr 1. (1 godz. / 1 godz.)

7. Macierze i działania na macierzach. Operacje elementarne. Postać bazowa/kanoniczna macierzy. Rząd macierzy. Wyznaczniki macierzy. Związki między rzędem a wyznacznikiem. ( 2 godz. / 1 godz.)

8. Macierz odwrotna. Sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej. Równanie macierzowe. (1 godz. / 0,5 godz.)

9. Układy równań liniowych. Metody rozwiązywania układów liniowych (oznaczonych - twierdzenie Cramera i nieoznaczonych - rozwiązanie ogólne, rozwiązania bazowe). Zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Capelliego. (2 godz. / 1,5 godz.)

10. Rozwiązanie graficzne nierówności liniowych. (0,5 godz. / 0,5 godz.)

11. Całka nieoznaczona i metody całkowania. (1,5 godz. / 1 godz.)

12. Całka oznaczona i jej interpretacja graficzna. Interpretacja ekonomiczna całki. Wyznaczanie funkcji kosztu, utargu i zysku całkowitego. (1 godz. / 0,5 godz.)

13. Praca kontrolna nr 2. (1 godz. / 1 godz.)

14. Funkcje wielu zmiennych. Dziedzina i warstwice. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. (1,5 godz. / 1 godz.)

15. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych. (1,5 godz. / 0,5 godz.)

16. Poprawa jednej wybranej pracy kontrolnej. (1 godz. / 1 godz.)

(3) Pomoce naukowe i metody dydaktyczne:

Wykłady - analiza podstaw teorii matematycznych oraz przedstawienia ich praktycznej realizacji w naukach ekonomicznych.

Ćwiczenia praktyczne - rozwiązywanie problemów oraz dyskusja wybranych zagadnień (praca w grupach oraz praca samodzielna); rozwiązywanie zestawów zadań przygotowanych specjalnie dla tego kierunku.

Literatura podstawowa:

Gurgul H., Suder M., Matematyka dla kierunków ekonomicznych, Oficyna a Wolters Kluwer Business, Warszawa 2011

Klepacz H,. Porazińska E., Zastosowania matematyki w ekonomii, Wyd. UŁ Łódź 2000 lub nowsze

Klepacz H., Matematyka. Zbiór zadań z rozwiązaniami dla studentów uczelni ekonomicznych, Wyd. Absolwent, Łódź 2002

Literatura uzupełniająca:

Antoniewicz R., Misztal A., Matematyka dla studentów ekonomii, Wyd. AE im. O. Lange Wrocław 1995

Chang A. C., Podstawy ekonomii matematycznej, PWE, Warszawa 1994

Dobrowolska K., Dyczk W., Jakuszenkow H., Matematyka 1, Helpmath, Łódź 2005

Kozarzewski R., Matuszewski W., Zacharski J., Matematyka dla ekonomistów, cz.I i II, Wyd. WSE-I, 2000

Krysicki W., Włodarski L., Analiza Matematyczna w zadaniach I, PWN, Warszawa 1996

Żółtowska E., Porazińska E. Żółtowski J. Algebra Liniowa, Wyd. Absolwent, Łódź 2001

"WIEDZA

(„Student zna i rozumie...”):

metody analitycznego rozwiązywania zadań będących podstawą analiz ekonomicznych, finansowych jak również wykorzystywanych w zarządzaniu. Student zna i definiuje własności podstawowych klas funkcji wykorzystywanych do opisu zjawisk ekonomicznych (FiR_W01, FiR_W10, FiR_W15);

zastosowanie metod macierzowych w analizowaniu zależności w wybranych zjawiskach w ekonomii, finansach i zarządzaniu (FiR_W01, FiR_W10, FiR _W15);

metody rachunku różniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych wykorzystywane w opisie zjawisk ekonomicznych (FiR _W10, FiR _W15);

podstawy rachunku całkowego oraz jego zastosowania w naukach ekonomicznych, a w szczególności rozumie znaczenie całki oznaczonej we wnioskowaniu statystycznym (FiR _W04, FiR _W10, FiR _W15);

UMIEJĘTNOŚCI

(„Student potrafi…”):

rozwiązywać wybrane problemy z zakresu ekonomii, finansów i zarządzania wykorzystując narzędzia matematyczne oraz poprawną terminologią ekonomiczną i finansową (FiR _U01, FiR _U03);

wykorzystać aparat matematyczny, by poprawnie interpretować wskaźniki ekonomiczne i finansowe oraz umie je zastosować w wybranych zadaniach z zakresu finansów i zarządzania (FiR _U03);

dokonać prezentacji wyników własnych analiz i ocen oraz podać ich merytoryczną argumentację wykorzystując aparat matematyczny (FiR _U03, FiR _U04);

przeprowadzić analizę złożonych zagadnień finansowych i ekonomicznych oraz zarządzania stosując analizę macierzową, w tym układy równań (FiR _U01, FiR _U09);

Zastosować podstawy rachunku różniczkowego oraz całkowego rozwiązując złożone zadania z zakresu finansów i zarządzania (FiR _U01, FiR _U09);

KOMPETENCJE SPOŁECZNE

(„Student jest gotów do…”):

podejmowania odpowiedzialność za pracę własną i osób z nim współpracujących (FiR _K05);

krytycznej oceny posiadanej wiedzy i świadomy znaczenia umiejętności analitycznych w podnoszeniu kwalifikacji zawodowych (FiR _K06); efektywnego korzystania z literatury, by samodzielne doskonalić nabytą wiedzę i umiejętności (FiR _K03, FiR _K06)"

Efekty w zakresie WIEDZY weryfikowane na podstawie pisemnego zaliczenia w formie egzaminu pisemnego z materiału przekazanego na wykładch, UMIEJETNOŚCI weryfikowane poprzez kolokwia pisemne oraz rozwiązywanie zadań i wybranych problemów z matematyki, KOMPETENCJE SPOŁECZNE oceniane poprzez ocenę aktywności studenta w trakcie zajęć.

OCENA KOŃCOWA: egzamin z wykładu na ocenę - egzamin pisemny sprawdzający wiedzę; zaliczenie ćwiczeń na oceną zależną w: 10% od aktywności na zajęciach, 10 % od prac domowych - seria zadań (samodzielne rozwiązywanie zadań oraz umiejętność zaprezentowania rozwiązania), w 80% od oceny z dwóch kolokwiów.

Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest obecność na zajęciach (zgodna z regulaminem studiów) oraz uzyskanie minimum 55 punktów. Ocena z ćwiczeń wystawiana jest na podstawie łącznej punktacji z dwóch kolokwiów wraz z punktami za aktywność w czasie zajęć oraz prace domowe.

Zaliczenie ćwiczeń jest warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu.

Końcowa ocena z ćwiczeń, jak i egzaminu ustalana jest według skali:

Poniżej 55.00 % - ocena 2

55.00 % i więcej - ocena 3

60.00 % i więcej - ocena 3,5

70.00 % i więcej - ocena 4

80.00 % i więcej - ocena 4,5

90.00 % i więcej - ocena 5